繰り返し無理数

無理数と有理数、この違いをご存知ですか？
小数点以下が無限に続くかどうか、ではないですよ。

有理数は、
小数点以下が有限の数か、
無限に続くけれど、循環する数です。
そういった数は、分数で表わせます。
例えば、
0.125=1/8
0.444444...=4/9
0.142857142857...=1/7

無理数は、有理数ではない数、
分数で表わせない数です。
円周率3.14159265358979...や
2の平方根1.41421356...といった数が有名です。
小数点以下が無限に続き、数字の循環がありませんね。

さて、本題はここから。
数字の循環があれば、無理数ではないと言いました。
でも、無理数にも数字の連続が入ることはあり得ます。
円周率をさらに詳しく見ると、
3.1415926535897932384626433...となって、
3が2つ続く部分が現れます。
2の平方根も1.4142135623730950488...で8が2連続。
ネイピア数と呼ばれる無理数2.718281828459...は、
途中に"1828"という数が繰り返されています。

無理数は無限にあることが証明されていますが、
どんな無理数にも数字の連続や繰り返しがあるのでしょうか？
はたまた、そうでない無理数は存在するでしょうか？
……実生活には全く役立たなさそうな問題ではありますが。