factor(111111…)

えー、
題目を日本語に書き換えると、
「111111…の素因数分解は？」
となります。
それは後半までおあずけとして。


「Microsoft Math」なるものがありまして、
面白そうだったから、最近入手してみました。
あんだ〜5000いぇん、だったはずです。
ダウンロード販売です。
教育機関とかだとライセンス云々で安くなるそうです。
む、宣伝めいてしまった。
もっと本格的な宣伝もどきは、気が向いたときに致します。


何がしたくて手に入れたのかと言いますと、
極座標で図形を描きたかったのです。
あ、嫌気がさしたら御退場なさって結構ですよ。
戻るボタンでも閉じるボタンでも、何なりとどうぞ。


話を戻して。
極座標の説明は、しておくべきでしょうか。


普段グラフを書く際に用いるであろう座標系は、
直交座標系―別称　デカルト座標系―で、
x軸とy軸を直交させた、おなじみのものです。
x軸方向に何マス、y軸方向に何マス、で、位置を指定します。
二次元の場合はx,yですが、三次元だとx,y,zですね。
あと、x軸とy軸を斜めに交わらせる斜交座標系もありますが、それはいいでしょう。
これらは原点からそれぞれの軸の方向に何マス分進んだかで、
その点の位置を決める座標系です。


対して、極座標系では
原点からの距離rと、
原点から点を通る半直線とx軸の正の部分がつくる角θで、点の位置が決まります。
つまり、x軸方向にrマス進んでから、反時計回りにθ度回転させるのです。
……ははは、文字じゃわかんないですね。
詳しくは、Wikipedia君に頼ってください。


ということで、
直交座標系では、y=F(x)ですけど、
極座標系では、r=F(θ)になるんです。
わぁ、とってもわかりやすい。ふぅ……


で、そのF(θ)をごちゃごちゃといじって、
現れる図形に、うわぁ、とか、へぇぇ、とか、いちいち感嘆するのが目的でした。
うーん、やっぱりぼくって、変な人？


といっても、いつまでも極座標ばかりをいじっているわけでもなく、
折角買ったんだから遊び倒さないとね、と
数式と戯れていました。
ぼくにとっては、数学ソフトもゲームの一環です。


さて、お待たせしました。素因数分解です。
factor()という関数がありまして、括弧内の数あるいは多項式を
因数分解してくれるのです。
ということで、11,111,1111,11111,…と片っ端から入れていきました。
途中で面倒くさくなって、

に切り替えましたが。
順調に分解していくものですから、
もしや111111…は素数にならないのでは？という
unlow予想でも立てようかと思いましたが、
a=19、つまり、1111111111111111111は素数でした。がっかり。
まあ、そんな上手くいくはずがないということですか。
因みに、aが4以上の偶数か3の倍数の時は、確実に分解できます。
偶数のときは11で、3の倍数の時は3で。
というか、aが合成数なら、確実に分解できるのだろうか。
検証してみよっと。
……証明した方が早いかな？


追記：aが合成数の時、確実に分解できることを証明しました。
しかし、余白はあるのですが、今の自分にその気力がなさすぎる。追記終わり；


ところで、a=67の時、マイノートパソコンちゃんが大いに頑張ってくれました。
30分ほどかかったのでしょうか。
高速回転音を横目にテレビに浸っていましたので、正確には分からないのですが、
かなり頑張ってくれました。
結果は、
493121・79863595778924342083・28213380943176667001263153660999177245677
だそうです。
誤植ありましても、お許しくださいまし。
お互い、お疲れ様でした。


もう一つ追記：111111…は、レピュニットと呼ぶそうです。
やっぱり、ありふれた概念だよなぁ。
数学も地球上の土地と同じで、
手の届くところは、ほぼ開拓済みなんですよね。
いかに取りこぼしを見つけるか、になってきますよね。
それにしても、11111111と打ってレピュニットにたどり着ける
ウィキペディア君は本当に凄いと思う。