直径を両端に持つ円

円と言うのは、面白い図形です。
ただ単に、ある点から同じ距離にある点を集めただけで、
丸くなっちゃうのですからね。
考え方だけを見れば、平面図形の中で一番簡単だと言えるかもしれません。
でも、そう簡単に自由な大きさの円は描けませんし、
やっぱり、式を書けと言うとつまづいちゃうわけで。
図形の方程式って、面白いと思うのだけどなあ。

円の方程式と言えば
$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$
ですよね。たぶん。
(a,b)を中心として、半径rの円です。
でも、実生活の中では、
中心位置とか半径とかなんて要らなくて、
ただ、どこを通るかさえ分かればいいということも　しばしばあります。
実生活で、円の方程式なんて要らない？
まあまあ、そう言わずに。

例えば、直径を両端に持つ円
たまに欲しくなりません？
そんな時にはこちら！
$(x-a_{\it 1})(x-a_{\it 2})+(y-b_{\it 1})(y-b_{\it 2})=0$
はい、これで、 $(a_{\it 1},b_{\it 1})$ と $(a_{\it 2},b_{\it 2})$ を端とする円が出来ました〜。

証明は難しくありません。
$(a_{\it 1},b_{\it 1})$ と $(a_{\it 2},b_{\it 2})$ を端とするということは、
２つの点の中心が円の中心で、 $(\frac{a_{\it 1}+a_{\it 2}}{2},\frac{b_{\it 1}+b_{\it 2}}{2})$
円の半径は三平方の定理を使えば、
x座標の差の2乗とy座標の差の2乗の和を平方根とって、
$\sqrt{\frac{(a_{\it 1}-a_{\it 2})^2}{2}+\frac{(b_{\it 1}-b_{\it 2})^2}{2}}$
この3つの式を初めの円の方程式
$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$
に代入して整理すれば、
$(x-a_{\it 1})(x-a_{\it 2})+(y-b_{\it 1})(y-b_{\it 2})=0$
が導出されるはず。

初めの式を変形して、
$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$
$(x-a)^2+(y-b)^2-r^2=0$
$(x-a)(x-a)+(y-b+r)(y-b-r)=0$
として導くこともできますね。
立派な円の方程式です。

ところがですね、
円の方程式を求めよ、と言っておいて
たまーに、これを答えと認めない人もいるのですよ。
ちゃんと平方完成させろ、とかね。
中心位置と半径を求めよ、だったら御尤もですけど、
ちゃんと方程式は求まっているじゃないか、と言いたいところです。
言いたいところですけど、言えずに終わります。
ぼくは　すこぶる捻くれているのかな。

以上、
円の方程式云々は、愚痴を言うための枕でしたとさ。

いやぁ、TeXは楽しいね。
はてな記法にTeXを取り入れるなんて、素晴らしい！
…ちょっと字体が悪いけどね。